Sumários
Funções e conjuntos mensuráveis
9 Março 2021, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
Funções mensuráveis são as funções reais que num conjunto de medida cheia são finitas e representáveis por limites de funções elementares e constituem um espaço vetorial reticulado, que contém estritamente as funções somáveis.O limite de uma sucessão monótona crescente de funções somáveis convergindo em quase todo o ponto (q.t.p.) para um limite finito define uma função mensurável. O espaço das funções mensuráveis é fechado para o liminf e limsup finitos q.t.p. e o limite em q.t.p. de funções mensuráveis ainda é mensurável. Um conjunto é mensurável (somável) se a sua função característica o for, e consequentemente a união, a intersecção e a diferenças de conjuntos mensuráveis (somáveis) também é mensurável (somável). A medida de um conjunto é o integral da sua função característica, sendo, por convenção infinito se for mensurável e não somável. A medida tem a propriedade da aditividade numerável.
O Integral de Lebesgue em R^N
4 Março 2021, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
A construção do integral de Lebesgue num bloco de RN com o método de Danilell tomando as funções em escada como funções elementares e o integral natural como o integral elementar. As funções integráveis à Riemann são também integráveis à Lebesgue. Os integrais impróprios de Riemann de funções não negativas são integráveis à Lebesgue. O Teorema de Fubini em RN. O integral de Lebesgue num bloco de RN pode ser obtido de modo equivalente tomando as funções contínuas como funções elementares e o integral de Riemann como o integral elementar.
O Integral de Lebesgue em R^N
4 Março 2021, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
A construção do integral de Lebesgue num bloco de RN com o método de Danilell tomando as funções em escada como funções elementares e o integral natural como o integral elementar. As funções integráveis à Riemann são também integráveis à Lebesgue. Os integrais impróprios de Riemann de funções não negativas são integráveis à Lebesgue. O Teorema de Fubini em RN. O integral de Lebesgue num bloco de RN pode ser obtido de modo equivalente tomando as funções contínuas como funções elementares e o integral de Riemann como o integral elementar.
O teorema de Fubini
2 Março 2021, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
A versão do teorema de Fubini para o integral duplo num espaço geral XxY , produto cartesiano de dois espaços gerais X e Y onde também se construíram espaços de funções somáveis, estende a estas funções as três condições: a) a somabilidade na variável x, fixando y quase sempre; b) a somalbilidade em y do integral relativamente a x; e c) a igualdade do integral duplo com o integral iterado, calculado primeiro em x e depois em y; que terão de ser admitidas serem verificadas nas funções elementares. No caso das funções serem não negativas, a existência do integral iterado implica a integrabilidade no espaço produto e a sua igualdade com o integral duplo, usualmente chamado de teorema de Tonelli. Comparação com o integral de Riemann em RN .
O teorema de Fubini
2 Março 2021, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
A versão do teorema de Fubini para o integral duplo num espaço geral XxY , produto cartesiano de dois espaços gerais X e Y onde também se construíram espaços de funções somáveis, estende a estas funções as três condições: a) a somabilidade na variável x, fixando y quase sempre; b) a somalbilidade em y do integral relativamente a x; e c) a igualdade do integral duplo com o integral iterado, calculado primeiro em x e depois em y; que terão de ser admitidas serem verificadas nas funções elementares. No caso das funções serem não negativas, a existência do integral iterado implica a integrabilidade no espaço produto e a sua igualdade com o integral duplo, usualmente chamado de teorema de Tonelli. Comparação com o integral de Riemann em RN .