Sumários

As séries de Fourier em L^2

1 Abril 2021, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Num espaço L2(X) separável, como mais geralmente num espaço de Hilbert abstrato, existe uma base ortonormada fechada, i.e., gera um subespaço vetorial denso, onde é válida a identidade de Parseval e cada elemento é reprensentável através da sua série de Fourier generalizada. Em particular, o l 2 é isomorfo a qualquer outro espaço de Hilbert separável de dimensão numerável (teorema de Riesz-Fischer).

Continuação de resolução de exercícios sobre o integral.

As séries de Fourier em L^2

1 Abril 2021, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Num espaço L2(X) separável, como mais geralmente num espaço de Hilbert abstrato, existe uma base ortonormada fechada, i.e., gera um subespaço vetorial denso, onde é válida a identidade de Parseval e cada elemento é reprensentável através da sua série de Fourier generalizada. Em particular, o l 2 é isomorfo a qualquer outro espaço de Hilbert separável de dimensão numerável (teorema de Riesz-Fischer).

Continuação de resolução de exercícios sobre o integral.

A estrutura hilbertiana de L^2

30 Março 2021, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

L2(X) é um espaço de Hilbert, onde o integral determina o produto interno, as desigualdades de Hölder e a de Minkowski determinam as desigualdades de Cauchy-Schwarz e a triangular, respetivamente,  e o teorema de Riesz-Fisher aplicado aos quadrados implica a completude do espaço. Formas lineares sobre  L2(X) determinadas pelo produto interno. Revisão das propriedades elementares de um espaço de Hilbert H em geral (real ou complexo), onde um convexo fechado não vazio tem um único elemento de norma mínima.

Resolução de exercícios: invariância do integral de Lebesgue e da norma   Lp(RN) para as translações do integral de Lebesgue; continuidade do integral em relação a um parâmetro a variar num espaço métrico e a diferenciabilidade relativamente a variáveis paramétricas em  R N; uma generalização da desigualdade de Hölder.

A estrutura hilbertiana de L^2

30 Março 2021, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

L2(X) é um espaço de Hilbert, onde o integral determina o produto interno, as desigualdades de Hölder e a de Minkowski determinam as desigualdades de Cauchy-Schwarz e a triangular, respetivamente,  e o teorema de Riesz-Fisher aplicado aos quadrados implica a completude do espaço. Formas lineares sobre  L2(X) determinadas pelo produto interno. Revisão das propriedades elementares de um espaço de Hilbert H em geral (real ou complexo), onde um convexo fechado não vazio tem um único elemento de norma mínima.

Resolução de exercícios: invariância do integral de Lebesgue e da norma   Lp(RN) para as translações do integral de Lebesgue; continuidade do integral em relação a um parâmetro a variar num espaço métrico e a diferenciabilidade relativamente a variáveis paramétricas em  R N; uma generalização da desigualdade de Hölder.

Regularização em R^N e Miniteste

25 Março 2021, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Demonstração das propriedades da convolução em   L1( RN)x Lp( RN),   p≥.1. Funções molificadoras e o seu papel regularizador das funções localmente somáveis e nas contínuas definidas nos abertos de  RN. Resultados de convergência e a densidade das funções indefinidamente diferenciáveis e de suporte compacto nos abertos de   RN. 


Miniteste