Sumários
O Lema de Fatou e o Teorema de Riesz-Fisher
25 Fevereiro 2021, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
A convergência em conjuntos cheios de funções mensuráveis e, portanto, também de funções elementares conduz a funções (mensuráveis) que podem ser não somáveis. Para além dos teoremas das convergências monótona (Levi) e da dominada (Lebesgue), que determinam a somabilidade das funções limites, o Lema de Fatou contém condições de somabilidade dos liminf's e da semi-continuidade inferior do integral de Lebesgue. Teorema de Riesz-Fisher determina que o espaço L das funções integráveis à Lebesgue, normado com o integral do módulo, é um espaço de Banach.
O Lema de Fatou e o Teorema de Riesz-Fisher
25 Fevereiro 2021, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
A convergência em conjuntos cheios de funções mensuráveis e, portanto, também de funções elementares conduz a funções (mensuráveis) que podem ser não somáveis. Para além dos teoremas das convergências monótona (Levi) e da dominada (Lebesgue), que determinam a somabilidade das funções limites, o Lema de Fatou contém condições de somabilidade dos liminf's e da semi-continuidade inferior do integral de Lebesgue. Teorema de Riesz-Fisher determina que o espaço L das funções integráveis à Lebesgue, normado com o integral do módulo, é um espaço de Banach.
Funções somáveis e a continuidade do integral
23 Fevereiro 2021, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
O espaço das funções reais somáveis L = L+- L+ é um espaço vetorial fechado para o max e o min e no qual se define o integral (de Lebesgue) como uma aplicação linear monótona que herda de L+ as duas importantes propriedades de continuidade: o teorema da convergência monótona (Levi) e o teorema da convergência dominada (Lebesgue).
Funções somáveis e a continuidade do integral
23 Fevereiro 2021, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
O espaço das funções reais somáveis L = L+- L+ é um espaço vetorial fechado para o max e o min e no qual se define o integral (de Lebesgue) como uma aplicação linear monótona que herda de L+ as duas importantes propriedades de continuidade: o teorema da convergência monótona (Levi) e o teorema da convergência dominada (Lebesgue).
Teoria Geral do Integral
18 Fevereiro 2021, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
O espaço vetorial fechado para o | . | das funções elementares, i.e. funções reais limitadas definidas num conjunto X qualquer. O integral elementar, como aplicação real, linear, monótona e contínua para as sucessões monótonas decrescentes de funções elementares convergindo para zero. Conjuntos de medida nula e as propriedades de comparação e de convergência das funções elementares em quase toda a parte ou q.s.. A classe das funções L + como as funções limites q.s. de sucessões monótonas crescente de funções elementares com integrais elementares uniformemente limitados. Um teorema da convergência monótona em L + . O espaço vetorial L = L+- L + das funções somáveis ou integráveis (à Lebesgue). A definição do integral em L.