Sumários

A transformação de Fourier nas funções de Schwartz

20 Abril 2021, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

As funções de Schwartz S em  R N , i.e. as funções infinitamente diferenciáveis com decrescimento rápido no infinito constituem um espaço vetorial, fechado para a derivação, para o produto por polinómios e pra o produto de convolução.
As propriedades da transformação de Fourier relativamente às translações em R N e das translações relativamente à transformação de Fourier implicam que o espaço de Schwartz  S  é fechado para a trasformação de Fourier e para a sua inversa. De facto, pelo teorema de Plancherel a transformação de Fourier é uma isometria em  S relativamente à topologia de L2(RN). 
Resolução de um exercício sobre mediadas complexas e de exercícios elementares sobre a transformação de Fourier em  R   e    R N 

A transformação de Fourier nas funções de Schwartz

20 Abril 2021, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

As funções de Schwartz S em  R N , i.e. as funções infinitamente diferenciáveis com decrescimento rápido no infinito constituem um espaço vetorial, fechado para a derivação, para o produto por polinómios e pra o produto de convolução.
As propriedades da transformação de Fourier relativamente às translações em R N e das translações relativamente à transformação de Fourier implicam que o espaço de Schwartz  S  é fechado para a trasformação de Fourier e para a sua inversa. De facto, pelo teorema de Plancherel a transformação de Fourier é uma isometria em  S relativamente à topologia de L2(RN). 
Resolução de um exercício sobre mediadas complexas e de exercícios elementares sobre a transformação de Fourier em  R   e    R N 

A inversão da transformação de Fourier em L^1

15 Abril 2021, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

A transformação de Fourier é uma aplicação linear contínua de L1(RN) em C0(RN), com a norma do supremo, o que é uma consequência do Lema de Riemann-Lebesgue. O kernel de Weierstrass-Gauss e o efeito regularizaste da sua convolução com funções de  L1(RN) . A fórmula da multiplicação para a transformação de Fourier e a sua utilização na demonstração da fórmula de inversão de Fourier em  L 1 (R N ). O caso particular das funções de Schwartz onde a transformação de Fourier é bijetiva.

Resolução de exercícios pelos alunos: uma generalização da desigualdade de Hölder e a sua aplicação à desigualdade de Young para a convolução.

A inversão da transformação de Fourier em L^1

15 Abril 2021, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

A transformação de Fourier é uma aplicação linear contínua de L1(RN) em C0(RN), com a norma do supremo, o que é uma consequência do Lema de Riemann-Lebesgue. O kernel de Weierstrass-Gauss e o efeito regularizaste da sua convolução com funções de  L1(RN) . A fórmula da multiplicação para a transformação de Fourier e a sua utilização na demonstração da fórmula de inversão de Fourier em  L 1 (R N ). O caso particular das funções de Schwartz onde a transformação de Fourier é bijetiva.

Resolução de exercícios pelos alunos: uma generalização da desigualdade de Hölder e a sua aplicação à desigualdade de Young para a convolução.

A transformação de Fourier em L^1(R^N)

13 Abril 2021, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

A analogia clássica dos coeficientes de Fourier e da série de Fourier, respetivamente, com a transformação de Fourier e da sua inversa, para recuperar a função de partida. As suas definições clássicas para as funções regulares com decrescimento moderado no infinito, em particular para as funções de Schwartz em R, generalizam-se imediatamente às funções somáveis de várias variáveis, i.e., às funções de L1(RN). As propriedades básicas da transformação de Fourier relativamente às translações, às dilações e ao produto de convolução. A transformação de Fourier e a sua inversa são aplicações lineares contínuas de  L1(RN) nas funções limitadas de  R Ncom a norma do supremo. 

Continuação da resolução de exercícios pelos alunos—a convergência fraca, i.e. dos produtos internos com qualquer função fixa, e a convergência das normas num espaço de Hilbert implica a convergência forte, i.e. na norma hilbertiana.