Sumários

Espaços L^p

16 Março 2021, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

O espaço Lp,  com p>1, constituído pelas funções mensuráveis  f num conjunto arbitrário X, com os axiomas do integral de Daniel e de Stone, são aquelas tais que |f| p são somáveis em X, i.e. estão em  L =  L 1 , constitui um espaço vetorial normado, completo e no qual as funções elementares são densas, tal como no caso p=1.

Resolução de exercícios pelos alunos. 

Espaços L^p

16 Março 2021, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

O espaço Lp,  com p>1, constituído pelas funções mensuráveis  f num conjunto arbitrário X, com os axiomas do integral de Daniel e de Stone, são aquelas tais que |f| p são somáveis em X, i.e. estão em  L =  L 1 , constitui um espaço vetorial normado, completo e no qual as funções elementares são densas, tal como no caso p=1.

Resolução de exercícios pelos alunos. 

O integral e a teoria da medida

11 Março 2021, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Os axiomas de Stone enriquecem as funções somáveis e mensuráveis num espaço X com truncaturas e com a existência de funções constantes e estritamente positivas. Caracterização das funções mensuráveis com  a mensurabilidade dos seus conjuntos de sobrenível. O integral de Lebesgue tal como Lebesgue o definiu a partir de funções simples. Medida de conjuntos mensuráveis, integral num subconjunto mensurável e medida num espaço produto. Comparação com a construção da integração abstrata partindo de espaços de medida.

Apresentação da resolução de alguns exercícios pelos estudantes.

O integral e a teoria da medida

11 Março 2021, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Os axiomas de Stone enriquecem as funções somáveis e mensuráveis num espaço X com truncaturas e com a existência de funções constantes e estritamente positivas. Caracterização das funções mensuráveis com  a mensurabilidade dos seus conjuntos de sobrenível. O integral de Lebesgue tal como Lebesgue o definiu a partir de funções simples. Medida de conjuntos mensuráveis, integral num subconjunto mensurável e medida num espaço produto. Comparação com a construção da integração abstrata partindo de espaços de medida.

Apresentação da resolução de alguns exercícios pelos estudantes.

Funções e conjuntos mensuráveis

9 Março 2021, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

 Funções mensuráveis são as funções reais que num conjunto de medida cheia são finitas e representáveis por limites de funções elementares e constituem um espaço vetorial reticulado, que contém estritamente as funções somáveis.O limite de uma sucessão monótona crescente de funções somáveis convergindo em quase todo o ponto (q.t.p.) para um limite finito define uma função mensurável. O espaço das funções mensuráveis é fechado para o liminf e limsup finitos q.t.p. e o limite em q.t.p. de funções mensuráveis ainda é mensurável. Um conjunto é mensurável (somável) se a sua função característica o for, e consequentemente a união, a intersecção e a diferenças de conjuntos mensuráveis (somáveis) também é mensurável (somável). A  medida de um conjunto é o integral da sua função característica, sendo, por convenção infinito se for mensurável e não somável. A medida tem a propriedade da aditividade numerável.

Revisão da fórmula da mudança de variável no integral em RN e a sua extensão ao integral de Lebesgue (sem demonstração). Aplicação às coordenadas esféricas e à integrabiilidade de |x|a na origem e no infinito, consoante   a < N  e   a ≥ N  respetivamente.