Sumários
Aproximação em espaços de Banach com subespaços de dimensão finita
30 Novembro 2021, 09:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
A separabilidade (i) de X (e.v.n.=espaço normado), a existência de uma família numerável X n (ii) crescente cuja união é densa em X ou (iii) cuja intersecção dois a dois se reduz a 0 e a sua soma direta seja densa em X (iii) ou ainda (iv) a existência de um conjunto numerável de vetores linearmente independentes que gera um espaço vetorial denso em X, são quatro condições equivalentes entre si e caraterizam a possibilidade de um espaço formado poder ser aproximado por uma família numerável de subespaços de dimensão finita. Bases de Schauder num e.n.v. X e a caraterização de bases duais no dual X*. O caso especial dos espaços de Hilbert separáveis.
A alternativa de Fredholm em espaços de Hilbert
26 Novembro 2021, 10:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
O lema de Riesz implica que um espaço vetorial normado E cuja bola unitária seja compacta é necessariamente de dimensão finita. Como consequência o kernel de I -T, para um operador compacto T num espaço vetorial normado V, tem dimensão finita.Um operador linear T é compacto num espaço de Hilbert se e só se o seu ajunto T* também for compacto (Schauder) e tem um conjunto A numerável de valores próprios sem pontos de acumulação, salvo possivelmente o zero. No complementar desse conjunto L a equação da resolvente e a sua adjunta são unicamente solúveis, enquanto que para valores a nesse conjunto A essas equações a x -Tx = y e a x -T*x = y têm solução apenas sob a condição de y ser ortogonal, respetivamente, ao kernel de aI -T* e ao de aI -T.
A alternativa de Fredholm em espaços de Hilbert
26 Novembro 2021, 09:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
O lema de Riesz implica que um espaço vetorial normado E cuja bola unitária seja compacta é necessariamente de dimensão finita. Como consequência o kernel de I -T, para um operador compacto T num espaço vetorial normado V, tem dimensão finita.Um operador linear T é compacto num espaço de Hilbert se e só se o seu ajunto T* também for compacto (Schauder) e tem um conjunto A numerável de valores próprios sem pontos de acumulação, salvo possivelmente o zero. No complementar desse conjunto L a equação da resolvente e a sua adjunta são unicamente solúveis, enquanto que para valores a nesse conjunto A essas equações a x -Tx = y e a x -T*x = y têm solução apenas sob a condição de y ser ortogonal, respetivamente, ao kernel de aI -T* e ao de aI -T.
A alternativa de Fredholm (teoria de Riesz-Schauder)
25 Novembro 2021, 10:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
Operadores lineares compactos T em espaços vetoriais normados V geram a alternativa de Fredholm, que na teoria de Riesz-Schauder, assume a forma: (i) a equação x-Tx = 0 tem soluções não triviais x em V or então (ii) x-Tx = y, para cada y em V, tem uma solução única x, e o operador (I-T)-1 é linear e contínuo em V.
A alternativa de Fredholm (teoria de Riesz-Schauder)
25 Novembro 2021, 09:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
Operadores lineares compactos T em espaços vetoriais normados V geram a alternativa de Fredholm, que na teoria de Riesz-Schauder, assume a forma: (i) a equação x-Tx = 0 tem soluções não triviais x em V or então (ii) x-Tx = y, para cada y em V, tem uma solução única x, e o operador (I-T)-1 é linear e contínuo em V.