Sumários

Espaços de Hilbert

7 Outubro 2021, 10:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Propriedades básicas da forma bilinear, simétrica definida positiva que define o produto interno (ou esclarecer) e uma norma num espaço pre-hilbertiano: identidades do paralelogramo, da polarização e de Pitádoras; desigualdades de Cauchy-Schwarz, triangular (subaditividade da norma) e de Bessel. Representação dos elementos de um espaço pré-hilbertiano através de bases hilbertianas (sucessões ortonormadas gerando um subespaço denso), a identidade de Parseval e espaços de Hilbert separáveis. O teorema de Riesz-Fisher nos espaços de Hilbert e o isomorfismo entre estes e o l 2 no caso de possuírem uma base hilbertiana, i.e. serem separáveis—séries de Fourier generalizadas.

Espaços de Hilbert

7 Outubro 2021, 09:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Propriedades básicas da forma bilinear, simétrica definida positiva que define o produto interno (ou esclarecer) e uma norma num espaço pre-hilbertiano: identidades do paralelogramo, da polarização e de Pitádoras; desigualdades de Cauchy-Schwarz, triangular (subaditividade da norma) e de Bessel. Representação dos elementos de um espaço pré-hilbertiano através de bases hilbertianas (sucessões ortonormadas gerando um subespaço denso), a identidade de Parseval e espaços de Hilbert separáveis. O teorema de Riesz-Fisher nos espaços de Hilbert e o isomorfismo entre estes e o l 2 no caso de possuírem uma base hilbertiana, i.e. serem separáveis—séries de Fourier generalizadas.

Operadores Lineares Contínuos. Teorema de Banach-Steinhaus

1 Outubro 2021, 10:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Convergência dos operadores lineares contínuos A entre X e Y, espaços normados (continuação) — o espaço L(X,Y). Convergência em norma implica a convergência simples de operadores lineares contínuos.

O Teorema de Banach-Steinhaus e o princípio da limitação uniforme — uma demonstração baseada em consequências do Lemma de Baire. A convergência simples de operadores lineares contínuos An, determina que a sucessão é limitada e o seu limite  A é contínuo. Exemplo de uma sucessão de funcionais de norma constante convergindo simplesmente e não convergindo em norma.
Resolução de exercícios e a demonstração do teorema de Vitali sobre a equivalência entre a integrabilidade uniforme e de sucessões de funções somáveis convergindo quase sempre e a sua convergência em L1.

Operadores Lineares Contínuos. Teorema de Banach-Steinhaus

1 Outubro 2021, 09:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Convergência dos operadores lineares contínuos A entre X e Y, espaços normados (continuação) — o espaço L(X,Y). Convergência em norma implica a convergência simples de operadores lineares contínuos.

O Teorema de Banach-Steinhaus e o princípio da limitação uniforme — uma demonstração baseada em consequências do Lemma de Baire. A convergência simples de operadores lineares contínuos An, determina que a sucessão é limitada e o seu limite  A é contínuo. Exemplo de uma sucessão de funcionais de norma constante convergindo simplesmente e não convergindo em norma.
Resolução de exercícios e a demonstração do teorema de Vitali sobre a equivalência entre a integrabilidade uniforme e de sucessões de funções somáveis convergindo quase sempre e a sua convergência em L1.

Espaços de Banach

30 Setembro 2021, 10:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Espaços de Banach — definição e exemplos. Aplicações lineares contínuas entre espaços normados e as suas propriedades básicas: limitação, extensão por continuidade a partir de subespaços densos.  

A convolução em   Lp(Rn), p≥1. A desigualdade de Young traduz-se pela convolução definir operadores lineares contínuos entre espaços de Lebesgue.
Resolução de exercícios de revisão de integração.