Sumários

Espaços de Banach

30 Setembro 2021, 09:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Espaços de Banach — definição e exemplos. Aplicações lineares contínuas entre espaços normados e as suas propriedades básicas: limitação, extensão por continuidade a partir de subespaços densos.
  A convolução em   Lp(Rn), p≥1. A desigualdade de Young traduz-se pela convolução definir operadores lineares contínuos entre espaços de Lebesgue.
Resolução de exercícios de revisão de integração.

O Integral de Lebesgue a e Teoria da Medida

28 Setembro 2021, 10:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Espaços de Medida e a integração abstrata de funções mensuráveis a partir de funções simples—generalização do método de Lebesgue. Funções somáveis ou integráveis. A medida de contagem em N e as séries absolutamente convergentes. Medidas definidas por integrais de funções mensuráveis positivas. O teorema de Fubini e o teorema da mudança de váriável em RN. A definição dos espaços de Lebesgue Lp(X). As desigualdades de Hölder e de Minkowski. Esta implica que os espaços  Lp(X), p≥1, sejam espaços normados. Os  Lp(X), são completos e, portanto são espaços de Banach, incluindo o caso limite p = infinito. As funções simples p-somáveis são densas em   Lp(X).

O Integral de Lebesgue a e Teoria da Medida

28 Setembro 2021, 09:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Espaços de Medida e a integração abstrata de funções mensuráveis a partir de funções simples—generalização do método de Lebesgue. Funções somáveis ou integráveis. A medida de contagem em  N e as séries absolutamente convergentes. Medidas definidas por integrais de funções mensuráveis positivas. O teorema de Fubini e o teorema da mudança de váriável em  RN. A definição dos espaços de Lebesgue  Lp(X). As desigualdades de Hölder e de Minkowski. Esta implica que os espaços   Lp(X), p≥1, sejam espaços normados. Os   Lp(X), são completos e, portanto são espaços de Banach, incluindo o caso limite p = infinito. As funções simples p-somáveis são densas em   Lp(X). 

Propriedades do integral de Lebesgue. Funções mensuráveis.

24 Setembro 2021, 10:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Propriedades das funções integráveis à Lebesgue (L): o teorema da convergência monótona de Levi; o lemma de Fatou; o teorema da convergência dominada de Lebesgue.

O espaço vetorial das funções mensuráveis M: a mensurabilidade de funções é preservada pela convergência em quase todo o ponto (a.e.); M é fechado para o liminf e  limp (a.e.); critério de integrabilidade das funções mensuráveis; M é o menor espaço contendo L que é fechado para a convergência a.e. Conjuntos mensuráveis, conjuntos de medida nula e conjuntos de medida positiva (axioma de Stone). Caraterização das funções mensuráveis f em termos da mensurabilidade dos conjuntos {u>t}. A medida de Lebesgue em R N.

Propriedades do integral de Lebesgue. Funções mensuráveis.

24 Setembro 2021, 09:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Propriedades das funções integráveis à Lebesgue (L): o teorema da convergência monótona de Levi; o lemma de Fatou; o teorema da convergência dominada de Lebesgue.

O espaço vetorial das funções mensuráveis M: a mensurabilidade de funções é preservada pela convergência em quase todo o ponto (a.e.); M é fechado para o liminf e  limp (a.e.); critério de integrabilidade das funções mensuráveis; M é o menor espaço contendo L que é fechado para a convergência a.e. Conjuntos mensuráveis, conjuntos de medida nula e conjuntos de medida positiva (axioma de Stone). Caraterização das funções mensuráveis f em termos da mensurabilidade dos conjuntos {u>t}. A medida de Lebesgue em R N.