Sumários
Espaços de Sobolev (N=1)
11 Novembro 2021, 10:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
Motivação ao estudo dos espaços de Sobolev através do problema de Dirichlet num intervalo limitado I de R. A definição de derivada fraca e o espaço de Banach W1,p(I). Este espaço herda as propriedades de reflexividade e de separabilidade de L p (I), em particular a estrutura hilbertiana de W1,2(I)=H 1(I) . As funções de W 1,p (I) admitem um único representante contínuo.
Espaços de Sobolev (N=1)
11 Novembro 2021, 09:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
Motivação ao estudo dos espaços de Sobolev através do problema de Dirichlet num intervalo limitado I de R. A definição de derivada fraca e o espaço de Banach W1,p(I). Este espaço herda as propriedades de reflexividade e de separabilidade de L p (I), em particular a estrutura hilbertiana de W1,2(I)=H 1(I) . As funções de W 1,p (I) admitem um único representante contínuo.
Espaços de Banach separáveis e uniformemente convexos.
9 Novembro 2021, 10:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
.Um espaço de Banach cujo dual seja separável, i.e., tem um subconjunto numerável denso, também é separável. Consequentemente um espaço de Banach é reflexível e separável se e só se o seu dual é reflexível e separável. Num espaço de Banach separável E a bola unitária fechada do seu dual E* é metrizável na topologia fraca* <E*,E> e reciprocamente, tal como se E* é separável, a bola unitária fechada de E é metrizável na topologia fraca <E,E*>, e reciprocamente. Consequentemente, se E é separável as sucessões limitadas de E* têm subsucessões fracamente* convergentes na topologia fraca* <E*,E>. Os espaços de Banach uniformemente convexos são reflexivos (teorema de Milman-Pettis) e as suas sucessões fracamente convergentes com a convergência das normas são fortemente convergentes.
Espaços de Banach separáveis e uniformemente convexos.
9 Novembro 2021, 09:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
.Um espaço de Banach cujo dual seja separável, i.e., tem um subconjunto numerável denso, também é separável. Consequentemente um espaço de Banach é reflexível e separável se e só se o seu dual é reflexível e separável. Num espaço de Banach separável E a bola unitária fechada do seu dual E* é metrizável na topologia fraca* <E*,E> e reciprocamente, tal como se E* é separável, a bola unitária fechada de E é metrizável na topologia fraca <E,E*>, e reciprocamente. Consequentemente, se E é separável as sucessões limitadas de E* têm subsucessões fracamente* convergentes na topologia fraca* <E*,E>. Os espaços de Banach uniformemente convexos são reflexivos (teorema de Milman-Pettis) e as suas sucessões fracamente convergentes com a convergência das normas são fortemente convergentes.
Espaços de Banach reflexivos
5 Novembro 2021, 10:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
A sobrejetividade da aplicação canónica de E no bidual E** determina a reflexividade do espaço de Banach E. O teorema de Kakutani estabelece que E é reflexivo se e só se a sua bola unitária fechada for compacta para a topologia fraca da dualidade <E,E*>. Num espaço de Banach reflexivo uma sucessão limitada tem pelo menos uma subsucessão fracamente convergente. Um espaço de Banach é reflexivo se e só se o seu dual também é reflexivo. Aplicação à minimização de funcionais convexos s.c.i. coercivos ou em convexos fechados e limitados.