Sumários

TP12 Aula 8 (Semana 9)

10 Novembro 2021, 14:30 • James Kennedy

Convergência uniforme, integrais e derivadas. Séries de funções e o M-teste de Weierstrass. Exercícios para a semana: 61-68 (mais 57-60, continuação).

Exercícios feitos na TP: 58, 61, 62, 63 mais o exemplo f_n = sin(n^2 x)/n, 67(a), (c) mais um exemplo da teórica, f_k = kx/(k^3+x^2), 68(a).

Séries de funções

9 Novembro 2021, 17:30 • Alessandro Margheri

Teorema sobre derivação por séries. Exemplo:  a soma da série de termo geral cos(kx)/k^3  é de classe C^1 em [0, 2\pi].Exercício TPC: a série de termo geral  cos(kx)/k^4 é de classe C2 em [0, 2|pi].


Série de potências: definição.  Se uma série converge  em y,  então converge uniformemente em [-r, r]  com  0<r<|y|.  (sem demonstração).
consequência:  a soma da série é uma função contínua em ]-y,y[.

Séries de funções.

8 Novembro 2021, 15:30 • Alessandro Margheri

 A soma de uma série  de funções contínuas uniformemente convergente é contínua. Troca entre o símbolo de série e o de integral para uma série uniformemente convergente. M-teste de Weierstrass. Demonstração.  Exemplo: a série de termo geral sin(kx)/k^2 é uniformemente convergente em R.  Exercício  a série de termo geral kx/(k^3+x^2)  é pontualmente convergente em R.  Exercício para casa: prove que a série de termo geral kx/(k^3+x^2)é uniformemente convergente em [-a,a] a>0 (usando o M-teste). 

Exercícios

5 Novembro 2021, 16:30 • Alessandro Margheri

Ex:  57 (a),(b), (c), (d),  58    61

TP14 Aula 8

4 Novembro 2021, 17:30 • James Kennedy

Noções topológicas (conclusão). Convergência pontual e uniforme de uma sucessão de funções. Exercícios para a semana: 57-60.

Exercícios feitos na TP: a segunda questão da AC2, 46(b), 47, 56, 57, 58.