Observações sobre espaços de Lebesgue. Teorema de Hahn-Banach.

15 Outubro 2018, 17:00 • Luís Fernando Sanchez Rodrigues

Se f_n ->f em L^p, existe uma subsucessão que converge para f a.e..

Se f_n ->f a. e., f está em L^p, e |f_n|menor ou igual a|f|, então f_n ->f em L^p.

Teorema de Hahn-Banach (prolongamento de formas lineares majoradas  por funcionais subaditivos e positivamente homogéneas); aplicação a prolongamento de formas lineares contínuas.

Discussão de exercícios

11 Outubro 2018, 17:00 • Luís Fernando Sanchez Rodrigues

Exercícios sobre os tópicos da aula teórica.

Espaços de Lebesgue e de Holder

11 Outubro 2018, 16:00 • Luís Fernando Sanchez Rodrigues

Espaços L^p: desigualdades básicas; completude.

L²(-pi,pi): referência à base ortonormada das funções trigonométricas.

Espaços de funções Holderianas: normas, completude, relações de inclusão.

Espaço cociente, imagem fechada, decomposição canónica, somas directas com projecções associadas contínuas

9 Outubro 2018, 16:30 • Luís Fernando Sanchez Rodrigues

Discussão de problemas sobre os temas em título.

Espaço cociente, imagem fechada, decomposição canónica, somas directas com projecções associadas contínuas

9 Outubro 2018, 15:30 • Luís Fernando Sanchez Rodrigues

Espaço cociente X/M em que M é subespaço fechado. Decomposição canónica de um operador linear contínuo. Critério de imagem fechada:  existe m>0 tal que ||T(x)|| >=  m dist(x, N(T)), para todo o x.

Num Hilbert, para um operador de imagem fechada tem-se R(T)=ortogonal de N(T).

Um funcional linear f é contínuo num normado X sse tem núcleo fechado. E tem-se X= soma directa de N(f) com um espaço unidimensional, sendo as projecções associadas contínuas. 

Exemplo: C[a,b]=U+V (directa) sendo U o subespaço das funções de integral nulo e V=|R. A projecção de h sobre V é a média de h.

Uma aplicação do teorema de Baire: as funções contínuas sem derivada em qualquer ponto formam um conjunto denso em C[0,1].