Sumários
Discussão de problemas
25 Setembro 2018, 16:30 • Luís Fernando Sanchez Rodrigues
Exercícios sobre produto interno.
Início do estudo de espaços de Hilbert
25 Setembro 2018, 15:30 • Luís Fernando Sanchez Rodrigues
Séries convergentes e absolutamente convergentes em espaços normados. Um espaço normado é Banach sse toda a série absolutamente convergente é convergente.
Exemplo de subespaços fechados cuja soma não é fechada (em l2xl2).
Espaços pré-Hilbertianos: produto interno, norma, Cauchy-Schwarz. Num espaço de Hilbert todo o convexo fechado não vazio tem um (único) ponto de norma mínima.
Discussão de problemas
24 Setembro 2018, 18:00 • Luís Fernando Sanchez Rodrigues
Foram discutidos problemas sobre espaços normados e aplicações lineares contínuas.
Espaços normados de dimensão finita. Compacidade
24 Setembro 2018, 17:00 • Luís Fernando Sanchez Rodrigues
Se N é subespaço (próprio) de dimensão finita de X, há em X um vector unitário x tal que d(x,N)=1.
(Riesz) Se N é subespaço (próprio) fechado de X, há em X uma sucessão de vectores unitários xi com lim d(xi,N)=1.
Se M e N são subespaços fechados de X e N tem dimensão finita, o espaço soma M+N é fechado em X.
(Lema: se b é um vector que não está em M, existe c>0 tal que
||m+tb|| >ou igual |t| para todo o m em M, todo o t real.)
Se X tem a bola unitária (ou a fronteira da bola unitária) compacta, então X tem dimensão finita.
Foi revista a caracterização dos compactos em espaços métricos. Por exemplo, A é compacto sse é completo e para cada a>0 tem uma rede-a finita.