Aplicações lineares contínuas em espaços normados

21 Setembro 2020, 17:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

O integral de Lebesgue abstrato como um funcional linear positivo com certas propriedades de continuidade: as convergências quase em todo o ponto monótona e a dominada, e a convergência em norma L¹ — continuação da revisão do integral de Lebesgue em R^N como a menor extensão do intregral de Cauchy/Riemann satisfazendo as propriedades de linearidade, convergência monótona e completude funcional.Outros exemplos de espaços de Banach. A convolução  em  R^N e operadores integrais de Hilbert-Schmidt como outros exemplos de operadores lineares contínuos.  Condições equivalentes de continuidade para operadores lineares entre espaços normados. A extensão por continuidade de um operador linear contínuo de um subespaço normado denso num espaço de Banach. Sucessões de operadores lineares contínuos entre espaços normados e o Teorema de Banach-Steinhaus.

Aplicações lineares contínuas em espaços normados

21 Setembro 2020, 16:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

O integral de Lebesgue abstrato como um funcional linear positivo com certas propriedades de continuidade: as convergências quase em todo o ponto monótona e a dominada, e a convergência em norma L¹ — continuação da revisão do integral de Lebesgue em R^N como a menor extensão do intregral de Cauchy/Riemann satisfazendo as propriedades de linearidade, convergência monótona e completude funcional.Outros exemplos de espaços de Banach. A convolução  em  R^N e operadores integrais de Hilbert-Schmidt como outros exemplos de operadores lineares contínuos.  Condições equivalentes de continuidade para operadores lineares entre espaços normados. A extensão por continuidade de um operador linear contínuo de um subespaço normado denso num espaço de Banach. Sucessões de operadores lineares contínuos entre espaços normados e o Teorema de Banach-Steinhaus.

Não houve aula

17 Setembro 2020, 17:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Não houve aula, pois na primeira semana o curso apenas teve uma sessão presencial no dia 15 de setembro de 2020

Não houve aula

17 Setembro 2020, 16:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Não houve aula, pois na primeira semana o curso apenas teve uma sessão presencial no dia 15 de setembro de 2020

Apresentação. Introdução à Análise Funcional

15 Setembro 2020, 15:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Apresentação do curso, bibliografia e método de avaliação. 

Introdução à Analise Funcional na perspetiva [G56] de meados do século XX: i) as séries de Fourier e os espaços de dimensão infinita com estrutura euclidiana (espaços de Hilbert); ii) equações integrais e operadores lineares. A influência do Cálculo das Variações e da Mecânica Quântica. Revisões sobre o Integral de Lebesgue, via teoria da medida e via funcional (Daniell). Os espaços de Lebesgue — L^p— e as suas propriedades que os tornam exemplos de espaços de Banach e de Hilbert (p=2).

Textos de leitura [R1,2], com sugestão de exercícios de revisão, e dos Chap. 2 e 10 de  [W].

[B] H. Brézis—Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer (2011)

[G56] I. M. Gel’fand—Functional analysis, Chap.XIX, in Mathematics. Its Content, Methods, and Meaning, Edited by A.D. Aleksandrov, A.N.Kolmogorov, M.A. Lavrent’ev, English Translation 1963 (AMS) The MIT Press (second printing 1965)

[R1,2] J.F.Rodrigues—Complementos de medida e integração, CMAF/INIC, Univ. Lisboa, 1983, Cap. 1 e 2

[W] M. Willem—Functional Analysis, Fundamentals and Applications, Birkhauser (2013).