O teorema de Radon-Nikodym e o de Riesz em L^p

1 Outubro 2020, 17:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Medidas absolutamente contínuas e mutuamente singulares em espaços mensuráveis. O teorema de Lebesgue da decomposição de uma medida relativamente a outra e da representação de Radon-Nikodym de uma medida absolutamente continua relativamente à sua densidade integrável — a demonstração de von Neumann baseada no teorema de Fréchet-Riesz em L². Extensão a medidas reais e complexas e decomposições de Jordan e de Hahn. Dualidade L^p-L^q, 1≤p<infty, 1/p+1/q=1, e representação de funcionais lineares contínuos em L^p, p≥1 (teorema de Riesz).

Bibliografia: Cap3_JFR_1983

O teorema de Radon-Nikodym e o de Riesz em L^p

1 Outubro 2020, 16:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Medidas absolutamente contínuas e mutuamente singulares em espaços mensuráveis. O teorema de Lebesgue da decomposição de uma medida relativamente a outra e da representação de Radon-Nikodym de uma medida absolutamente continua relativamente à sua densidade integrável — a demonstração de von Neumann baseada no teorema de Fréchet-Riesz em L². Extensão a medidas reais e complexas e decomposições de Jordan e de Hahn. Dualidade L^p-L^q, 1≤p<infty, 1/p+1/q=1, e representação de funcionais lineares contínuos em L^p, p≥1 (teorema de Riesz).

Bibliografia: Cap3_JFR_1983

Revisões e exercícios sobre integral e espaços de Lebesgue

29 Setembro 2020, 15:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Resolução de exercícios de revisão sobre o integral de Lebesgue e das propriedades mais importantes dos espaços L ^p—espaços de Lebesgue— como exemplos de espaços normados completos (Banach) e de espaços de Hilbert quando p=2.

Revisões e exercícios sobre integral e espaços de Lebesgue

29 Setembro 2020, 14:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Resolução de exercícios de revisão sobre o integral de Lebesgue e das propriedades mais importantes dos espaços L ^p—espaços de Lebesgue— como exemplos de espaços normados completos (Banach) e de espaços de Hilbert quando p=2.

Operadores simétricos em espaços de Hilbert

28 Setembro 2020, 17:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Operadores lineares contínuos simétricos (ou auto-adjuntos) num espaço de Hilbert. O exemplo da projeção sobre um subespaço vetorial fechado e a decomposição em soma ortogonal do espaço de Hilbert. Somas hilbertianas e bases ortonormadas. O teorema da isometria de Fréchet-Riesz entre um espaço de Hilbert e o seu conjugado (ou dual) e a  convergência fraca num espaço de Hilbert. Operadores compactos num espaço de Hilbert. Valores próprio e subespaços próprios. Um operador linear compacto e simétrico (≠0) tem um valor próprio não nulo e, se tiver imagem infinita, tem uma infinidade numerável evanescente de valores próprios e admite uma decomposição espetral numa soma de operadores projeção sobre os respetivos valores próprios. Extensões ao caso de espaços de Hilbert complexos.