Operadores simétricos em espaços de Hilbert

28 Setembro 2020, 16:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Operadores lineares contínuos simétricos (ou auto-adjuntos) num espaço de Hilbert. O exemplo da projeção sobre um subespaço vetorial fechado e a decomposição em soma ortogonal do espaço de Hilbert. Somas hilbertianas e bases ortonormadas. O teorema da isometria de Fréchet-Riesz entre um espaço de Hilbert e o seu conjugado (ou dual) e a  convergência fraca num espaço de Hilbert. Operadores compactos num espaço de Hilbert. Valores próprio e subespaços próprios. Um operador linear compacto e simétrico (≠0) tem um valor próprio não nulo e, se tiver imagem infinita, tem uma infinidade numerável evanescente de valores próprios e admite uma decomposição espetral numa soma de operadores projeção sobre os respetivos valores próprios. Extensões ao caso de espaços de Hilbert complexos.

Espaços de Hilbert (continuação)

24 Setembro 2020, 17:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

O teorema da projeção sobre convexos fechados em espaços de Hilbert (reais). O caso especial dos subespaços vetoriais—projeções ortogonais. O Teorema de Riesz-Fréchet sobre a isometria entre um espaço de Hilbert e o seu dual. Aplicação à soma direta de um subespaço fechado e o seu ortogonal. O Teorema de Stampacchia de existência e unicidade de soluções de inequações variacionais em convexos de espaços de Hilbert onde se definem formas bilineares continuas e coercivas, como uma extensão da inequação que caracteriza as projeções sobre um convexo. O caso particular dos subespaços espaços—o teorema de Lax-Milgram como uma extensão do de Riesz-Fréchet. 

TPC: Extensão dos resultados a espaços de Hilbert complexos

Espaços de Hilbert (continuação)

24 Setembro 2020, 16:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

O teorema da projeção sobre convexos fechados em espaços de Hilbert (reais). O caso especial dos subespaços vetoriais—projeções ortogonais. O Teorema de Riesz-Fréchet sobre a isometria entre um espaço de Hilbert e o seu dual. Aplicação à soma direta de um subespaço fechado e o seu ortogonal. O Teorema de Stampacchia de existência e unicidade de soluções de inequações variacionais em convexos de espaços de Hilbert onde se definem formas bilineares continuas e coercivas, como uma extensão da inequação que caracteriza as projeções sobre um convexo. O caso particular dos subespaços espaços—o teorema de Lax-Milgram como uma extensão do de Riesz-Fréchet. 

TPC: Extensão dos resultados a espaços de Hilbert complexos

O teorema de Banach-Steinhaus. Revisões sobre Espaços de Hilbert. Exercícios

22 Setembro 2020, 15:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Convergências (pontual e em norma) e limitação de operadores lineares contínuos entre dois espaços formados, i.e. em L(X,Y). O teorema de Banach-Steinhaus: uma demonstração baseada no Teorema de Baire e outra mais direta. Um exemplo de uma sucessão de operadores convergente todo o ponto e não convergente em norma. Revisões sobre Espaços de Hilbert—a desigualdade de Bessel e a identidade de Parseval para sucessões ortonormadas em espaços pré-Hilbertianos; nestes espaços com dimensão infinita, ter uma base Hilbertiana (o.n.-ortonormada gerando um subespaço denso) é equivalente ser separável (i.e. ter um subconjunto denso). O teorema de Riesz-Fischer num espaço de Hilbert com uma base o.n. relativamente à representação em série (de Fourier generalizada) de um elemento qualquer do espaço e a convergência da série dos quadrados dos seus coeficientes. Resolução de alguns exercícios do trabalho de casa facultativo.

O teorema de Banach-Steinhaus. Revisões sobre Espaços de Hilbert. Exercícios

22 Setembro 2020, 14:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Convergências (pontual e em norma) e limitação de operadores lineares contínuos entre dois espaços formados, i.e. em L(X,Y). O teorema de Banach-Steinhaus: uma demonstração baseada no Teorema de Baire e outra mais direta. Um exemplo de uma sucessão de operadores convergente todo o ponto e não convergente em norma. Revisões sobre Espaços de Hilbert—a desigualdade de Bessel e a identidade de Parseval para sucessões ortonormadas em espaços pré-Hilbertianos; nestes espaços com dimensão infinita, ter uma base Hilbertiana (o.n.-ortonormada gerando um subespaço denso) é equivalente ser separável (i.e. ter um subconjunto denso). O teorema de Riesz-Fischer num espaço de Hilbert com uma base o.n. relativamente à representação em série (de Fourier generalizada) de um elemento qualquer do espaço e a convergência da série dos quadrados dos seus coeficientes. Resolução de alguns exercícios do trabalho de casa facultativo.