Sumários

Introdução ao curso — o conceito de integral

19 Fevereiro 2019, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Referência à evolução histórica do conceito de integral: do cálculo das áreas por Arquimedes, à necessidade do integral de Lebesgue motivada pela questões da análise de Fourier, passando pela áreas do integral de Newton-Leibniz, do integral de Cauchy e o de Riemann.

Ref. [2] Thomas Hawkins, Lebesgue's Theory of Integration, Its Origins and Development, 2nd Edition AMS Chelsea, Providence Rhode Island, 1975.

Trabalho para casa: revisão aprofundada do integral de Riemann para funções reais de variável real.

Ref. [3] Notas de Curso de 2017/2018 de M J Edmundo

Introdução ao curso — o conceito de integral

19 Fevereiro 2019, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Uma apresentação sintética e descritiva dos objetivos do curso. Revisão sumária da construção do integral de Riemann com as somas de Darboux. Comparação dos conceitos da construção do integral de Riemann com a do integral de Lebesgue, via confronto da partição do domínio versus partição do contradomínio. O potencial deste último para a construção de um integral abstrato num espaço de medida em geral. A ideia de espaço mensurável e a de medida como função sigma aditiva de conjunto. A integração abstracta de funções mensuráveis numa apresentação sumária, que mantém e generaliza as propriedades clássicas do integral: linearidade, positividade e a questão crucial da troca do limite com o integral — o teorema de Lebesgue. A caraterização da medida de Lebesgue em Rⁿ.

Ref. [1] J F Rodrigues - Cap. 1 de Complementos de Medida e Integração,

Texto e Notas #30, CMAF Lisboa 1983.