Sumários
Teoria geral do integral
28 Fevereiro 2019, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
As funções elementares reais definidas num conjunto X qualquer. O integral de uma função elementar como um funcional linear, positivo e contínuo para as sucessões monótonas decrescentes de funções simples convergentes pontualmente para zero. Conjuntos de medida nula num conjunto arbitrário—definição por sucessões crescentes de funções elementares não nulas de integral arbitrariamente pequeno. A classe L+ e a integração em L + . As propriedades do integral das funções da classe L+ . O espaço vetorial L = L+- L+ das funções somáveis (ou integráveis à Lebesgue) em X. O integral abstrato como um funcional linear positivo. Teoremas de continuidade: o teorema de Levi para funções somáveis não negativas e o teorema da convergência dominada de Lebesgue em geral.
Demonstração do critério de Lebesgue da integrabilidade à Riemann
26 Fevereiro 2019, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
Uma condição necessária e suficiente para a caraterização dos conjuntos de medida nula em termos de integrais de funções em escada. Aproximações inferior e superior de uma função por funções em escada. Critério de integrabilidade à Riemann sobre a aproximação, a menos de um conjunto de medida nula, de uma função por funções em escada. Funções semicontinuas inferior e superiormente de uma função real e sua relação, em quase todo o ponto com as funções em aproximantes em escada, respetivamente por valores inferiores e superiores. Conclusão da demonstração do teorema de Lebesgue sobre a condição (necessária e suficiente) de uma função integrável à Riemann ser contínua a menos de um conjunto de medida nula.
Demonstração do critério de Lebesgue da integrabilidade à Riemann
26 Fevereiro 2019, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
Uma condição necessária e suficiente para a caraterização dos conjuntos de medida nula em termos de integrais de funções em escada. Aproximações inferior e superior de uma função por funções em escada. Critério de integrabilidade à Riemann sobre a aproximação, a menos de um conjunto de medida nula, de uma função por funções em escada. Funções semicontinuas inferior e superiormente de uma função real e sua relação, em quase todo o ponto com as funções em aproximantes em escada, respetivamente por valores inferiores e superiores. Conclusão da demonstração do teorema de Lebesgue sobre a condição (necessária e suficiente) de uma função integrável à Riemann ser contínua a menos de um conjunto de medida nula.
Continuação da aula teórica
21 Fevereiro 2019, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
A construção do integral de Riemann em R n por defeito e por excesso, respetivamente, com as somas inferiores e superiores de Darboux. A condição da igualdade destas duas soma como condição necessária e suficientes de integrabilidade à Riemann de uma função definida num bloco de R n. As funções em escada, o seu integral e a sua utilização para aproximação das funções integráveis à Riemann. Conjuntos de medida nula. O teorema de Lebesgue sobre a condição (necessária e suficiente) de uma função integrável à Riemann ser contínua a menos de um conjunto de medida nula.Bibliografia: Cap. 1 do livro Integral, Measure and Derivative: A unified approach, de G E Shilov e B L Gurevich, Dover, New York 1977.
Integral de Riemann com N variáveis
21 Fevereiro 2019, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
A construção do integral de Riemann em R n por defeito e por excesso, respetivamente, com as somas inferiores e superiores de Darboux. A condição da igualdade destas duas soma como condição necessária e suficientes de integrabilidade à Riemann de uma função definida num bloco de R n. As funções em escada, o seu integral e a sua utilização para aproximação das funções integráveis à Riemann. Conjuntos de medida nula. O teorema de Lebesgue sobre a condição (necessária e suficiente) de uma função integrável à Riemann ser contínua a menos de um conjunto de medida nula.