Sumários

Complementos sobre funções mensuráveis

14 Maio 2019, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues


O teorema de Egorov: num espaço X somável, a convergência q.t.p (em quase todo o ponto) de funções mensuráveis implica a convergência quase-uniforme (uniforme a menos de um conjunto de medida arbitrariamente pequena). A convergência em medida, equivalente à convergência na distância dada pelo integral associado à função t/(1+t) para t≥0, torna L^0(X), o conjunto das funções mensuráveis (definidas a menos de um conjunto de medida nula) num espaço métrico completo (exercícios do Cap. 6 do livro de Shilov-Gurevich).

Aula Teórico-prática: continuação de aplicações da transformação de Fourier:  a utilização do kernel de Poisson na resolução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace no semi-plano com condições de fronteira em L^1 e nas funções contínuas.

Complementos sobre funções mensuráveis

14 Maio 2019, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues


O teorema de Egorov: num espaço X somável, a convergência q.t.p (em quase todo o ponto) de funções mensuráveis implica a convergência quase-uniforme (uniforme a menos de um conjunto de medida arbitrariamente pequena). A convergência em medida, equivalente à convergência na distância dada pelo integral associado à função t/(1+t) para t≥0, torna L^0(X), o conjunto das funções mensuráveis (definidas a menos de um conjunto de medida nula) num espaço métrico completo (exercícios do Cap. 6 do livro de Shilov-Gurevich).

Aula Teórico-prática: continuação de aplicações da transformação de Fourier:  a utilização do kernel de Poisson na resolução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace no semi-plano com condições de fronteira em L^1 e nas funções contínuas.

Aplicações do Integral de Fourier à Física-Matemática

9 Maio 2019, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

A interpretação do princípio de incerteza quântico de Heisenberg como consequência das propriedades da transformação de Fourier. Aplicação do cálculo operacional de Fourier para a resolução do problema de Cauchy na equação do calor em R e em R^n: efeito regularizaste do kernel do calor e interpretação da condição inicial para dados contínuos limitados, dados somáveis e de quadrado integrável.

Aula Teórico-prática: cálculo de transformadas de Fourier associadas ao kernel de Poisson e aplicação à resolução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace no semi-plano.

Aplicações do Integral de Fourier à Física-Matemática

9 Maio 2019, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

A interpretação do princípio de incerteza quântico de Heisenberg como consequência das propriedades da transformação de Fourier. Aplicação do cálculo operacional de Fourier para a resolução do problema de Cauchy na equação do calor em R e em R^n: efeito regularizaste do kernel do calor e interpretação da condição inicial para dados contínuos limitados, dados somáveis e de quadrado integrável.

Aula Teórico-prática: cálculo de transformadas de Fourier associadas ao kernel de Poisson e aplicação à resolução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace no semi-plano.

A extensão da transformação de Fourier a L^2

7 Maio 2019, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

As fórmulas resultantes da transformação de Fourier F que relacionam as potências diferenciais D^m com as potências algébricas x^m têm como consequência a aplicação linear  F e a sua inversa   F-1 serem isometrias no espaço S das funções regulares com decrescimento rápido no infinito (espaço de Schwarz). A extensão da transformação de Fourier e da sua inversa a L^2 por densidade, pela fórmula de Plancherel, determina um isomorfismo  F em  L^2(R^n).


Aula Teórico-Prática: continuação de resolução de exercícios.