Sumários
Exercícios de medida e integração
16 Abril 2019, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
Exercícios: propriedades das medidas obtidas a partir das respetivas funções características de conjuntos mesuráveis em espaços de medida gerais obtidos pela integração de funções; continuidade em média das funções somáveis à Lebesgue; convergência em medida, convergência q.t.p. (em quase todo o ponto) e quase-uniforme; L^0= espaço das funções mensuráveis pode ser um espaço métrico completo.
Exercícios de medida e integração
16 Abril 2019, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
Exercícios: propriedades das medidas obtidas a partir das respetivas funções características de conjuntos mesuráveis em espaços de medida gerais obtidos pela integração de funções; continuidade em média das funções somáveis à Lebesgue; convergência em medida, convergência q.t.p. (em quase todo o ponto) e quase-uniforme; L^0= espaço das funções mensuráveis pode ser um espaço métrico completo.
Convolução de funções somáveis
11 Abril 2019, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
.O produto de convolução de funções somáveis num espaço de medida X, cujo integral total seja invariante para as translações, como uma aplicação bilinear, simétrica e continua para a norma L^1(X). Revisão do teorema de Fubini no integral abstracto. A convolução em L^p(R^N), p ≥ 1 e aplicação à regularização de funções somáveis com o uso dos modificadores usuais. Propriedades da regularização e aproximação das funções localmente integráveis e das funções contínuas. Aplicação à demonstração da densidade das funções indefinidamente diferenciáveis de suporte compacto em R^N nos espaços L^p(R^N), p ≥ 1.
Convolução de funções somáveis
11 Abril 2019, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
.O produto de convolução de funções somáveis num espaço de medida X, cujo integral total seja invariante para as translações, como uma aplicação bilinear, simétrica e continua para a norma L^1(X). A convolução em L^p(R^N), p ≥ 1 e aplicação à regularização de funções somáveis com o uso dos modificadores usuais. Propriedades da regularização e aproximação das funções localmente integráveis e das funções contínuas. Aplicação à demonstração da densidade das funções indefinidamente diferenciáveis de suporte compacto em R^N nos espaços L^p(R^N), p ≥ 1.
Aplicação do integral de Lebesgue ao estudo de L^2
9 Abril 2019, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
O integral de Lebesgue e a estrutura de espaço de Hilbert separado de L^2 (casos das funções reais e das funções complexas). Consequências de três resultados essenciais da teoria dos espaços de Hilbert (enunciados sem demonstração): Teorema de Riesz-Fréchet da dualidade; sistemas ortonormados completos e séries de Fourier generalizadas e a isometria dos espaços de Hilbert separáveis de dimensão infinita com o espaço l^2. Comparação com a forma clássica das séries de Fourier em L^2(a,b) das funções reias de variável real.