Sumários

A derivação e a teoria da integração

23 Maio 2019, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Aula Teórico-Prática: Resolução detalhada do exercício sobre a Álgebra de Wiener em R^N como um subespaço fechado das funções somáveis.

Aula Teórica: derivadas clássicas e derivadas generalizadas em R^N; H1 como subespaço de Hilbert de L^2 cujas derivadas generalizadas são ainda funções de L^2 e um primeiro exemplo de um espaço de Sobolev; a identidade de H1 e de H^1, o espaço de Sobolev definido a partir da transformação de Fourier em L^2 e da relação de Parseval; a ação das translações e da derivação nas transformadas de Fourier e a sua utilização na definição de W1, o subespaço de Hilbert de L^2 das funções cujo quociente diferencial tem limite em L^2 e a sua identificação com H1.

Questão para desenvolvimento e melhor de nota: a identidade de H1 com H1_0, i.e. o fecho das funções indefinidamente diferenciáveis de suporte compacto em R^N em H1.

Integração de Fourier e Equações Diferenciais

21 Maio 2019, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Aula Teórico-Prática: aplicação da transformação de Fourier para resolver uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com um termo não homogéneo somável ou de quadrado domável; fórmula explícita da solução da equação das ondas em R^n envolvendo as transformadas de Fourier das condições iniciais.


Aula Teórica: Introdução ao espaço de Sobolev H^1(R) a partir do espaço de Schwarz e da transformação de Fourier em L^2(R).
(ver Cap. 2 do curso de J. P. Dias, Equações Diferenciais I, Textos e Notas #22, CMAF/INIC, lisboa, 1980)

Integração de Fourier e Equações Diferenciais

21 Maio 2019, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Aula Teórico-Prática: aplicação da transformação de Fourier para resolver uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com um termo não homogéneo somável ou de quadrado domável; fórmula explícita da solução da equação das ondas em R^n envolvendo as transformadas de Fourier das condições iniciais.


Aula Teórica: Introdução ao espaço de Sobolev H^1(R) a partir do espaço de Schwarz e da transformação de Fourier em L^2(R).
(ver Cap. 2 do curso de J. P. Dias, Equações Diferenciais I, Textos e Notas #22, CMAF/INIC, lisboa, 1980)

Exercício relativos à transformação de Fourier

16 Maio 2019, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Revisão das propriedades básicas da transformação de Fourier em L^1(R^n): fórmulas para a homotetia e translação; relações com a conjugação complexa e com a fórmula da transformação inversa; efeito regularizante — uma função de L^2(R^n) cuja transformada de Fourier seja somável é, a menos de um conjunto de medida nula, uma função contínua, limitada e evanescentes no infinito. Redemonstração do Lema de Riemann-Lebesgue pela densidade das funções de Schwartz S em L^1(Rn). A fórmula do somatório de Poisson em  S. 

Exercício relativos à transformação de Fourier

16 Maio 2019, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Revisão das propriedades básicas da transformação de Fourier em L^1(R^n): fórmulas para a homotetia e translação; relações com a conjugação complexa e com a fórmula da transformação inversa; efeito regularizante — uma função de L^2(R^n) cuja transformada de Fourier seja somável é, a menos de um conjunto de medida nula, uma função contínua, limitada e evanescentes no infinito. Redemonstração do Lema de Riemann-Lebesgue pela densidade das funções de Schwartz S em L^1(Rn). A fórmula do somatório de Poisson em  S.