Sumários

Propriedades dos espaços L^p

28 Março 2019, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

O espaço L^infty, das funções mensuráveis limitadas q.t.p.  é um espaço de Banach para a convergência uniforme. A medida de contagem e a tradução de alguma propriedades do integral para as séries de números reais. A densidade das funções elementares e das funções simples nos espaços L^p, 1≤p≤infty. A densidade das funções contínuas com suporte compacto em L^p, p≥1, com referência ao teorema de Lusin. No espaço L^p(A), de um aberto limitado A de R^n, os polinómios com coeficientes racionais são densos e, por consequência, L^p(A) é um espaço separável. Conclusão e regularização em L^p(R^n).

Aula Teórico-Prática: o Lema de Dini para funções monótonas descontínuas; a conjetura da extensão do Lema de Dini sobre a convergência uniforme em compactos de sucessões monótonas pontualmente convergentes de funções reais integráveis à Riemann. 

Propriedades dos espaços L^p

28 Março 2019, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

O espaço L^infty, das funções mensuráveis limitadas q.t.p.  é um espaço de Banach para a convergência uniforme. A medida de contagem e a tradução de alguma propriedades do integral para as séries de números reais. A densidade das funções elementares e das funções simples nos espaços L^p, 1≤p≤infty. A densidade das funções contínuas com suporte compacto em L^p, p≥1, com referência ao teorema de Lusin. No espaço L^p(A), de um aberto limitado A de R^n, os polinómios com coeficientes racionais são densos e, por consequência, L^p(A) é um espaço separável. Conclusão e regularização em L^p(R^n).

Aula Teórico-Prática: o Lema de Dini para funções monótonas descontínuas; a conjetura da extensão do Lema de Dini sobre a convergência uniforme em compactos de sucessões monótonas pontualmente convergentes de funções reais integráveis à Riemann. 

Integral em conjuntos mensuráveis e espaços L^p

26 Março 2019, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

A integração em subconjuntos mensuráveis e conjuntos somáveis caraterizados pelas suas funções características num espaço mensurável. As propriedades do integral abstrato em conjuntos mensuráveis. Os espaços L^p, p≥1, e respetiva norma. Desigualdades de Hölder e de Minkowski. O espaço L^p é um espaço de Banach, como consequência da versão p>1 do teorema de Riesz-Fischer.

Exercícios de integração.

Integral em conjuntos mensuráveis e espaços L^p

26 Março 2019, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

A integração em subconjuntos mensuráveis e conjuntos somáveis caraterizados pelas suas funções características num espaço mensurável. As propriedades do integral abstrato em conjuntos mensuráveis. Os espaços L^p, p≥1, e respetiva norma. Desigualdades de Hölder e de Minkowski. O espaço L^p é um espaço de Banach, como consequência da versão p>1 do teorema de Riesz-Fischer.

Exercícios de integração.

Conjuntos mensuráveis e introdução à teoria geral da medida

21 Março 2019, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

As funções reais mensuráveis definidas num conjunto arbitrário constituem um espaço vetorial fechado para a convergência pontual em quase todo ponto e para os limsup e liminf de funções limitadas a menos de um conjunto de medida nula. Conjuntos mensuráveis e conjuntos somáveis via funções características. A aditividade numerável das medidas. Os axiomas de Stone e o papel das funções constantes. A caracterização das funções mensuráveis em termos da mediida e a definição original de Lebesgue para o integral.

Aula teórico-prática: integração abstrata sobre conjuntos mensuráveis; a continuidade absoluta do integral relativamente a conjuntos de medida evanescente.