Sumários

A extensão da transformação de Fourier a L^2

7 Maio 2019, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

As fórmulas resultantes da transformação de Fourier F que relacionam as potências diferenciais D^m com as potências algébricas x^m têm como consequência a aplicação linear  F e a sua inversa   F-1 serem isometrias no espaço S das funções regulares com decrescimento rápido no infinito (espaço de Schwarz). A extensão da transformação de Fourier e da sua inversa a L^2 por densidade, pela fórmula de Plancherel, determina um isomorfismo  F em  L^2(R^n).


Aula Teórico-Prática: continuação de resolução de exercícios.

A fórmula da inversão da transformação de Fourier em L^1

2 Maio 2019, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Continuação do estudo de algumas propriedades da transformação de Fourier: derivadas de uma transformada de Fourier e transformação de Fourier de uma derivada — o caso de uma variável e o caso em R^n; do caso clássico com o integral de Riemann com as funções que decrescem moderada ou rapidamente no infinito às funções integráveis (à Lebesgue) em R^n. A regularização de uma função de L^1(R^n) com a convolução com o kernel de Weierstrass. A demonstração da fórmula da inversão da transformação de Fourier no caso geral das funções e transformadas em  L^1(R^n).


Aula prática: exercícios sobre convergência em medida e convergência q.t.p. (em quase todo o ponto). 

A fórmula da inversão da transformação de Fourier em L^1

2 Maio 2019, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Continuação do estudo de algumas propriedades da transformação de Fourier: derivadas de uma transformada de Fourier e transformação de Fourier de uma derivada — o caso de uma variável e o caso em R^n; do caso clássico com o integral de Riemann com as funções que decrescem moderada ou rapidamente no infinito às funções integráveis (à Lebesgue) em R^n. A regularização de uma função de L^1(R^n) com a convolução com o kernel de Weierstrass. A demonstração da fórmula da inversão da transformação de Fourier no caso geral das funções e transformadas em  L^1(R^n).


Aula prática: exercícios sobre convergência em medida e convergência q.t.p. (em quase todo o ponto). 

Aplicação do integral à transformação de Fourier

30 Abril 2019, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

A passagem informal da série de Fourier ao integral de Fourier como motivação da transformada de Fourier e a sua inversa.

Definição e primeiras propriedades da transformação de Fourier em R e em R^N. A transformação de Fourier é uma aplicação linear continua bem definida em L^1(R^N) com imagem nas funções contínuas que vanescem no infinito (Lema de Riemann-Lebesgue). A transformação de Fourier da função de Gauss.

Leitura suplementar: Cap. 5 do livro de E. M. Stein & R Shakarchi, Fourier Analysis, An Introduction, Princeton University Press, 2003.

Aplicação do integral à transformação de Fourier

30 Abril 2019, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

A passagem informal da série de Fourier ao integral de Fourier como motivação da transformada de Fourier e a sua inversa.

Definição e primeiras propriedades da transformação de Fourier em R e em R^N. A transformação de Fourier é uma aplicação linear continua bem definida em L^1(R^N) com imagem nas funções contínuas que vanescem no infinito (Lema de Riemann-Lebesgue). A transformação de Fourier da função de Gauss.

Leitura suplementar: Cap. 5 do livro de E. M. Stein & R Shakarchi, Fourier Analysis, An Introduction, Princeton University Press, 2003.