Sumários

Conjuntos mensuráveis e introdução à teoria geral da medida

21 Março 2019, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

As funções reais mensuráveis definidas num conjunto arbitrário constituem um espaço vetorial fechado para a convergência pontual em quase todo ponto e para os limsup e liminf de funções limitadas a menos de um conjunto de medida nula. Conjuntos mensuráveis e conjuntos somáveis via funções características. A aditividade numerável das medidas. Os axiomas de Stone e o papel das funções constantes. A caracterização das funções mensuráveis em termos da mediida e a definição original de Lebesgue para o integral.

Aula teórico-prática: integração abstrata sobre conjuntos mensuráveis; a continuidade absoluta do integral relativamente a conjuntos de medida evanescente.

O integral de Lebesgue em R^n

19 Março 2019, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

As funções reais integráveis à Riemann são  integráveis à Lebesgue em R n, mas estas contém muitas outras funções, incluindo as ilimitadas cujo integral impróprio de Riemann do seu valor absoluto existe. As funções contínuas como funções elementares e equivalência das construções do integral de Lebesgue em R n. A medida de Lebesgue em R n como a única medida regular que mantém o volume dos blocos, é invariante para as translações e é aplicável a todos os conjuntos obtidos por complementaridade e/ou uniões numeráveis de abertos (borelianos).

Aula teórico-prática: o lema de Dini para funções contínuas.

O integral de Lebesgue em R^n

19 Março 2019, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

As funções reais integráveis à Riemann são  integráveis à Lebesgue em R n, mas estas contém muitas outras funções, incluindo as ilimitadas cujo integral impróprio de Riemann do seu valor absoluto existe. As funções contínuas como funções elementares e equivalência das construções do integral de Lebesgue em R n. A medida de Lebesgue em R n como a única medida regular que mantém o volume dos blocos, é invariante para as translações e é aplicável a todos os conjuntos obtidos por complementaridade e/ou uniões numeráveis de abertos (borelianos).

Aula teórico-prática: o lema de Dini para funções contínuas.

Teoremas gerais da Teoria do Integral (continuação)

14 Março 2019, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

O Lema de Fatou e a integrabilidade do limite q.t.p. de funções. 

O teorema de Riesz-Fischer sobre a completude do espaço das funções somáveis L 1(X). 
Funções mensuráveis e conjuntos mensuráveis e somáveis. Medidas associadas a conjuntos de funções elementares. 
Primeira abordagem ao teorema de Fubini. 
Resolução de exercícios.

Teoremas gerais da Teoria do Integral (continuação)

14 Março 2019, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

O Lema de Fatou e a integrabilidade do limite q.t.p. de funções. 

O teorema de Riesz-Fischer sobre a completude do espaço das funções somáveis L 1(X). 
Funções mensuráveis e conjuntos mensuráveis e somáveis. Medidas associadas a conjuntos de funções elementares. 
Primeira abordagem ao teorema de Fubini. 
Resolução de exercícios.