TP14 - Aula 6

24 Outubro 2022, 10:30 • Ana Cristina Barroso

Discussão e resolução dos exercícios 10.g),i),ii),18, 19.e),f), ideia de 22, 24.a),b), 25.d), 31.b),f),g), 32.j),k),l),m),s),t),v) da Ficha 2 (limites e limites laterais, caracterização de limite segundo Heine, funções contínuas, classificação das descontinuidades de funções, prolongamento por continuidade, cálculo de limites de funções usando relações de assintoticamente igual entre funções e por enquadramento).

Aula T15 – Teorema de Bolzano e consequências

24 Outubro 2022, 09:30 • Ana Rute Domingos

Prova rigorosa de que, no mais infinito, a exponencial de base maior do que um cresce mais rapidamente do que qualquer potência de x.

Análise da influência das hipóteses do Teorema de Bolzano, na obtenção das conclusões do mesmo.

Demonstração do Teorema de Bolzano (clássico). Prova de que qualquer polinómio de grau ímpar admite, pelo menos, um zero real. Extensão do resultado ao caso em que a função contínua é limitada ou ilimitada num intervalo genérico e exemplo de aplicação.

Aplicações teóricas do Teorema de Bolzano: Toda a função contínua transforma intervalos em intervalos (com um exemplo de aplicação), a inversa de uma função contínua e injectiva num intervalo é contínua (contraexemplo). 

Resolução do exercício 40 da Ficha 2.

Conclusão do Capítulo 2.

TP12 - Aula 5

21 Outubro 2022, 11:00 • Ana Rute Domingos

Estudo de séries numéricas (condição necessária de convergência, critérios de comparação, da razão, da raiz, séries de Dirichlet). Discussão de problemas diversos incluindo a resolução dos exercícios da Ficha 1:

48 c); 51 f), g), h), j),l); 52 c), d), e), f), g), h).

Aula T14 - Novas indeterminações. Teorema de Bolzano (início)

21 Outubro 2022, 10:00 • Ana Rute Domingos

Obtenção de relações assintoticamente iguais envolvendo as funções seno, exponencial e logaritmo por exploração dos limites notáveis, e aplicação das mesmas ao cálculo de limites e ao estudo de séries numéricas.

As três indeterminações que advêm de limites envolvendo a função f elevada a g. Exemplos.

Início do estudo do Teorema de Bolzano: enunciado, a versão geral, o corolário (referência è prova), exemplos variados.

Aula T13 - Continuidade. Descontinuidades. Limites notáveis

19 Outubro 2022, 10:00 • Ana Rute Domingos

Continuidade de funções r.v.r.: propriedades e exemplos; caracterização através dos limites laterais.

Prolongamento por continuidade: definição e exemplos.

Classificação das descontinuidades de uma função: definição, exemplos e análise gráfica.

Álgebra das funções contínuas. Continuidade da função composta. Limite da função composta: teorema, exemplos e aplicações. Conceito de função elementar. 

Limites notáveis: demonstração, exemplos e consequências da conjugação com o limite da função composta (início).