Sumários

Aula Teórico-prática—o teorema de Kakutani-Yosida

17 Outubro 2019, 16:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Resolução do teorema de Kakutani-Yosida para iterações de contrações, no sentido lato, de aplicações lineares em espaços de Hilbert (Ex: 5.21 de [B]—um caso de teorema ergódico).

Outros exercícios sobre espaços de Hilbert e sobre uma aplicação do teorema de Radon-Nikodym a funções integráveis em espaços de medida com sinal. 

Espaços uniformemente convexos

15 Outubro 2019, 15:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Duas definições equivalentes de convexidade uniforme em espaços normados. O exemplo dos L^p, 1<p<infty, via desigualdades de Clarkson, e o dos espaços de Hilbert que são uniformemente convexos. Espaços normados suaves (smooth), i.e. quando a norma tem derivadas direcionais. O teorema da representação de James para espaços de Banach suaves e uniformemente convexos (existência e caracterização de um problema dual de maximização de uma forma linear na fronteira da bola unitária) implica uma versão do teorema de Hahn-Banach nestes espaços. No caso dos espaços de Hilbert, este teorema implica o teorema de Riesz-Fréchet. Num espaço de Hilbert as sucessões limitadas têm subsucesssões fracamente convergentes.


Resolução de exercícios em espaços de Hilbert.

Espaços uniformemente convexos

15 Outubro 2019, 14:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Duas definições equivalentes de convexidade uniforme em espaços normados. O exemplo dos L^p, 1<p<infty, via desigualdades de Clarkson, e o dos espaços de Hilbert que são uniformemente convexos. Espaços normados suaves (smooth), i.e. quando a norma tem derivadas direcionais. O teorema da representação de James para espaços de Banach suaves e uniformemente convexos (existência e caracterização de um problema dual de maximização de uma forma linear na fronteira da bola unitária) implica uma versão do teorema de Hahn-Banach nestes espaços. No caso dos espaços de Hilbert, este teorema implica o teorema de Riesz-Fréchet. Num espaço de Hilbert as sucessões limitadas têm subsucesssões fracamente convergentes.


Resolução de exercícios em espaços de Hilbert.

Dualidade e convergência fraca

14 Outubro 2019, 17:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

O dual X*=L(X,R) de um espaço normado X. A convergência fraca em X*. Aplicação do Teorema de Banach-Steinhaus em X*. Sucessões limitadas no dual de um espaço formado separável têm subsucessões fracamente convergentes (Banach). Convergência fraca e forte nos espaços de Hilbert e nos espaços L^p. Dualidade em espaços de funções contínuas: medidas de Radon e medidas limitadas como espaços duais e sua representação com medidas de Borel regulares em espaços de Hausdorff localmente compactos (sem demonstração). A medida de Dirac.

Dualidade e convergência fraca

14 Outubro 2019, 16:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

O dual X*=L(X,R) de um espaço normado X. A convergência fraca em X*. Aplicação do Teorema de Banach-Steinhaus em X*. Sucessões limitadas no dual de um espaço formado separável têm subsucessões fracamente convergentes (Banach). Convergência fraca e forte nos espaços de Hilbert e nos espaços L^p. Dualidade em espaços de funções contínuas: medidas de Radon e medidas limitadas como espaços duais e sua representação com medidas de Borel regulares em espaços de Hausdorff localmente compactos (sem demonstração). A medida de Dirac.