Sumários

Variantes analíticas do Teorema de Hahn-Banach

24 Setembro 2019, 14:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

X'=L(X,R) e formas lineares contínuas em espaços normados X. O Teorema de Hahn-Banach em espaços normados separáveis — demonstração sem o Lema de Baire. O teorema de Hahn-Banach na forma analítica em espaços vetoriais E com aplicações sublineares e positivamente homogéneas p (gauges), onde se podem estender formas lineares g dominadas pelo gauge p em subespaços G de E.

Corolários assegurando a existência e a caracterização de formas lineares contínuas não triviais em espaços formados, não necessariamente separáveis.

Aula Teórico-Pratica: comparação das demonstrações em [B] e em [A].

Aplicações lineares contínuas em espaços normados

23 Setembro 2019, 17:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Espaços normados e espaços de Banach. Uma aplicação linear entre dois espaços normados X e Y é contínua se e só se for limitada. O espaço normado L(X,Y) e o teorema da extinção de aplicações lineares contínuas definidas num subespaço normado denso. Convergência pontual (ou simples) de operadores e convergência em norma. O teorema de Banach-Steinhaus ou da limitação uniforme (sucessões simplesmente limitadas em L(X,Y) são uniformemente limitadas em norma). A série de potências de operadores (Naumann) e a exponencial em L(X), para espaços de Banach X e aplicações às equações diferenciais abstratas em X.


Propostas de exercícios.

Aplicações lineares contínuas em espaços normados

23 Setembro 2019, 16:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Espaços normados e espaços de Banach. Uma aplicação linear entre dois espaços normados X e Y é contínua se e só se for limitada. O espaço normado L(X,Y) e o teorema da extinção de aplicações lineares contínuas definidas num subespaço normado denso. Convergência pontual (ou simples) de operadores e convergência em norma. O teorema de Banach-Steinhaus ou da limitação uniforme (sucessões simplesmente limitadas em L(X,Y) são uniformemente limitadas em norma). A série de potências de operadores (Naumann) e a exponencial em L(X), para espaços de Banach X e aplicações às equações diferenciais abstratas em X.


Propostas de exercícios.

O Integral geral como funcional —Espaços de Lebesgue abstratos

19 Setembro 2019, 17:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Revisões sobre o integral de Lebesgue abstrato, via construção de Daniell. A completação do integral como um funcional linear, positivo e continuo para funções positivas, pontual e monotonamente convergentes para zero, definido nas funções elementares reais definidas num conjunto arbitrário no qual se definem conjuntos negligenciáveis de modo funcional. Funções mensuráveis e funções integráveis. Revisão dos teoremas de convergência no integral de Lebesgue. Os espaços L^p, p≥1, e L^infty. Relações com a teoria da medida através dd funções características de subconjuntos.


Exercícios: Equivalência de duas definições de conjuntos negligenciáveis e de medida nula. Exercícios de revisão sobre o integral de Lebesgue.

O Integral geral como funcional —Espaços de Lebesgue abstratos

19 Setembro 2019, 16:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Revisões sobre o integral de Lebesgue abstrato, via construção de Daniell. A completação do integral como um funcional linear, positivo e continuo para funções positivas, pontual e monotonamente convergentes para zero, definido nas funções elementares reais definidas num conjunto arbitrário no qual se definem conjuntos negligenciáveis de modo funcional. Funções mensuráveis e funções integráveis. Revisão dos teoremas de convergência no integral de Lebesgue. Os espaços L^p, p≥1, e L^infty. Relações com a teoria da medida através de funções características de subconjuntos.


Exercícios: Equivalência de duas definições de conjuntos negligenciáveis e de medida nula num espaço abstrato. Exercícios de revisão sobre o integral de Lebesgue.