Sumários
4 Novembro 2019, 17:00
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José Francisco da Silva Costa Rodrigues
Os três teoremas fundamentais de Banach nos espaços com o seu nome e algumas das suas implicações:
i) O princípio da limitação uniforme de operadores lineares (Banach-Steinhaus);
ii) O teorema da aplicação aberta;
iii) O teorema do gráfico fechado.
Comparação dos tratamentos dos livros do Brézis e do Alt e o teorema da aplicação linear inversa. de uma aplicação bijetiva entre dois espaços de Banach.
Continuação da resolução de exercícios.
4 Novembro 2019, 16:00
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José Francisco da Silva Costa Rodrigues
Os três teoremas fundamentais de Banach nos espaços com o seu nome e algumas das suas implicações:
i) O princípio da limitação uniforme de operadores lineares (Banach-Steinhaus);
ii) O teorema da aplicação aberta;
iii) O teorema do gráfico fechado.
Comparação dos tratamentos dos livros do Brézis e do Alt e o teorema da aplicação linear inversa. de uma aplicação bijetiva entre dois espaços de Banach.
Continuação da resolução de exercícios.
31 Outubro 2019, 17:00
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José Francisco da Silva Costa Rodrigues
Aula teórico-prática:
Demonstração de que, num espaço métrico completo, o interior da união numerável de uma sucessão de subconjuntos fechados com interior vazio é ainda vazia (teorema de Baire); como consequência, se esse espaço métrico completo for a união numerável de subconjuntos fechados, pelo menos um destes tem interior não vazio. Como consequência, o teorema da limitação uniforme de Banach-Steinhaus é válido para um conjunto arbitrário (não necessariamente numerável) de operadores lineares contínuos entre um espaço de Banach e um espaço vetorial normado.
31 Outubro 2019, 16:00
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José Francisco da Silva Costa Rodrigues
Aula teórico-prática:
Demonstração de que, num espaço métrico completo, o interior da união numerável de uma sucessão de subconjuntos fechados com interior vazio é ainda vazia (teorema de Baire); como consequência, se esse espaço métrico completo for a união numerável de subconjuntos fechados, pelo menos um destes tem interior não vazio. Como consequência, o teorema da limitação uniforme de Banach-Steinhaus é válido para um conjunto arbitrário (não necessariamente numerável) de operadores lineares contínuos entre um espaço de Banach e um espaço vetorial normado.
29 Outubro 2019, 15:00
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José Francisco da Silva Costa Rodrigues
Espaços de Banach separáveis. Os exemplos dos espaços de dimensão finita e dos L^p, p≥1. Um espaço de Banach que tem o seu dual separável também é separável. Um espaço de Banach é reflexivo e separável se e só se o seu dual é também reflexivo e separável. Um espaço de Banach uniformemente convexo é reflexivo (Milman-Pettis).
Aula Teórico Prática: exercícios sobre dualidade em espaços de Banach e de Hilbert.